Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones
con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se
puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación. Su
aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones
habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de
factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados
perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.
Historia de los productos notables
Factor común
Los padres del álgebra son los árabes, así que son los que iniciaron
todo lo relacionado con el mismo.
A partir de la segunda mitad del siglo VIII se fundaron escuelas por
todo el Imperio, entre las que destaca Bait Al-Hikma (Casa de la Sabiduría).
Entre los miembros de esta escuela destaca un nombre propio Mohammed ibn-Musa
Al-Khowarizmi que escribió más de media docena de obras matemáticas y
astronómicas, dos de las cuales han tenido especial importancia en la historia.
La primera de ellas está basada en una traducción árabe de Brahmagupta y en la
que se da una reproducción exacta del sistema de numeración hindú, lo que ha
originado la creencia popular de que nuestro sistema de numeración procede del
árabe. El "nuevo" sistema de numeración vino a ser conocido como
"el de Al-Khowarizmi" y a través de deformaciones lingüísticas derivó
en "algorismi" y después en algoritmo, término que, actualmente,
posee un significado mucho más amplio. Igualmente, a través del titulo de su
obra más importante, el Hisab al-jabr wa-al-muqabala, nos ha transmitido otro
nombre mucho más popular, la palabra "álgebra". En esta obra se
estudian seis tipos de ecuaciones cuadráticas, así como un sin fin de elementos
griegos.
Con posterioridad a Al-Khuwarizmi se desarrollaron infinidad de
procedimientos de cálculo y algoritmos especiales, entre ellos:
obtención del número pi con 17 cifras exactas mediante polígonos
inscritos y circunscritos en la circunferencia realizada por Kashi (s. XV).
Después de más de 150 años, en 1593, en Europa, Viète encontró sólo nueve cifras
exactas. Hubo que esperar a fines del siglo XVI y comienzos del XVII para
repetir el cálculo de Kashi.
cálculo de raíces por el método conocido actualmente como de
Ruffini-Horner, posiblemente como resultado de la estrecha colaboración con los
matemáticos chinos. Además fue advertida y expresada la serie del desarrollo
binomial y fue también enunciada la tabla de coeficientes binomiales.
extracción aproximada de raíces, utilizando la interpolación lineal.
sumación de progresiones aritméticas y geométricas.
El resultado de multiplicar un binomio
a+b por un término c se
obtiene aplicando la propiedad distributiva:
c (a + b) = c a + c b \,
Para esta operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en
la figura adjunta. El área del rectángulo es
c (a + b) \, (el producto de la
base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas
coloreadas: ca y cb
Ejemplo:
3x (4x + 6y) = 12x^2 + 18xy \,
Cuadrado de un binomio
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:
(a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 \,
Un trinomio de la expresión siguiente: a^2 + 2 a b + b^2 \; se conoce como trinomio cuadrado perfecto.
Cuando el segundo término es negativo, la igualdad que se obtiene es:
(a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2 \,
En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo.
Ejemplo:
(2x - 3y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(-3y) + (-3y)^2 \,
Simplificando:
(2x - 3y)^2 = 4x^2 -12xy +9y^2 \,
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Para resolver un binomio con término común se tiene que identificar el término común: en este caso X, la cual se eleva al cuadrado, mas la suma de los no comunes: (a)(b) el resultado se multiplica por X mas la multiplicación de los no comunes:
(x+a)(x+b)= x^2+(a+b)x+ab \,
Ejemplo:
(3x+4)(3x-7) = (3x)(3x) + (3x)(-7) + (3x)(4) + (4)(-7) \,
Agrupando términos:
(3x+4)(3x-7) = 9x^2 -21x + 12x -28 \,
Luego:
(3x+4)(3x-7) = 9x^2 -9x -28 \,
Producto de dos binomios conjugados Polinomio al cuadrado -
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Cubo de un binomio
Para calcular el cubo de un binomio se suman, sucesivamente:
El cubo del primer término con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
El triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
El cubo del segundo término.
Identidades de Cauchy:
Ejemplo:
Agrupando términos:
Si la operación del binomio implica resta, el resultado es:
El cubo del primer término.
Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
Menos el cubo del segundo término.
Identidades de Cauchy:
Ejemplo:
Agrupando términos:
Producto de dos binomios con un término en común
para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada termino individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.
